1번안

여기선 위 아이디어를 좀 더 정밀하게 계산하면 실제로 원을 직선 3개로 5등분 할 수 있다는 것을 보이고자 한다.

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우선 직선 한개로 원을 4:1로 나누는 지점을 찾는것으로 부터 시작한다.

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위의 그림에서 그런 절단지점이 되는 원의 반지름 r을 a:b로 나누는 a,b를 구할려면 다음과 같은 방정식을 풀어야 한다. 이 문제는 등장하는 수학문제가 기하학적 문제로 사인 코사인을 배우는 고등학교 수준의 수학이면 풀 수 있는 문제인 것으로 분석이 된다.

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a + b = r

cos θ = a/r

일단 잘려진 1/5에 해당되는 케이크부분의 면적을 계산할려면(영어로는 segment라고 한다) 파이모양의 면적(영어로는 sector라고 한다)에서 삼각형의 면적을 빼면 되니

π r² * (2θ / 2π) - ac 가 된다. 이게 원 전체의 면적의 1/5가 되면 되니까.

(θ는 degree 즉 360도 기준이 아니라 라디안 2π 기준으로 표시해야 표현이 깔끔하다.)

π r² * (2θ / 2π) - ac = 1/5 * π r²

이제 사인 코사인이 들어선 이 비선형 연립방정식을 풀면 θ 혹은 a, b가 주어진 r에 대해 주어지는데 a:b의 비율은 r에 무관하게 주어질것으로 보인다.

π r² * (θ / π - 1/5) = ac = r cos θ * r sin θ

π * (θ / π - 1/5) = sin θ * cos θ = θ - (π/5)

즉 θ만의 비선형 방정식이고 이건 해석학적으로 풀기는 어렵고 컴퓨터로 수치해석이란 기법으로 풀어야 된다.. 어차피 그렇게 풀어야 되는 김에 θ 보다는 알기쉬운 a/r 즉 반지름에 대한 a의 비율로 바꾸어 계산해 보자..x = a / r = r cos θ / r = cos θ

θ = arccos x

sin² θ + cos² θ = 1

sin θ = √(1 - cos² θ) = √(1 - x²)

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π * (arccos x/ π - 1/5) = √(1 - x²) * x

arccos x = √(1 - x²) * x + (π/5)

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음 근데 이건 수치해석적으로 arccos의 제곱이 들어가서 더 복잡한 형태라 그냥

θ = sin θ * cos θ + (π/5)

이거 가지고 θ 구한담에 cos θ 구하는게 더 나을거 같다.

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그러면 나머지 케익을 4등분 하는것도 마찬가지로 이번에는 세그먼트 (segment)의 크기가 1/5가 아니라 2/5가 되는 θ를 구하면 되는거니 같은 방식으로 풀면 된다.

즉

π * (θ / π - 2/5) = sin θ * cos θ = θ - (2π/5)

θ = sin θ * cos θ + (2π/5)

이다..

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sin (2θ) = 2 * sin θ * cos θ 를 이용해서 좀 더 단순화 시킬 수 있는지 알아보자.

θ = sin θ * cos θ + (π/5) = (sin (2θ))/2 + (π/5)

뭐 어차피 수치해석해야 되는거라 별로 해석학적으로 풀 수 있을지 이것만 가지고는 잘 모르겠다..

하여간 여기까지가 고등학교 실력으로 풀 수 있는 부분이고 수치해석을 뭐 프로그램 돌릴 줄만 알면 학력에 무관하지만 그래도 그 정도할려면 아주 똑똑한 고등학생 아니면 대학수준의 지식보다는 대학수준의 경험이 필요해 보인다..

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프로그램 mathematica를 이용해 다음과 같이 풀면 x = 1.05657정도 나온다..

FindRoot[x - Sin[x] * Cos[x] - Pi/5, {x, 1.0}]

degree로 환산하면 60.537도 정도 된다.

2번째 자르는 지점은 풀면 1.4124 즉 약 80.9246정도 나온다.

FindRoot[x - Sin[x] * Cos[x] - 2*Pi/5, {x, 1.0}]

반지름에 대한 비율 즉 cos θ를 보면 각각 0.491861 그리고 0.157735가 나온다..

즉 처음에는 거의 120도로 나누는 부분이라 케익을 3등분할때의 원상의 양점을 자르면 되고 2번째는 160도 부분이라 중심에서 약간 위에 자르면 되는것이다.

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다른방법

?우선은 그림을 계산하기 쉽게 분리를 해 놔야 한다. 그래서 다음 그림들이 필요하다.

그림에서 다른 색깔끼리 서로 면적이 같아야 한다. 위의 아래 그림처럼 레벨링을 해서 2부분의 면적만 구해주면 나머진 좌우 대칭성과 전체에서 3/5을 뺀 나머지 부분도 2/5부분이 좌우 대칭성으로 1/5이 되기 때문에 두 색깔 칠해진 부분만 계산하면 된다.. 안 그럼 나머지 부분은 무지 계산이 어려운 부분이 있다..

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핑크색 부분을 보면 우선은 첫번째 방식처럼 파이모양(sector)의 영역을 계산한 다음 중심이 a만큼 위로 올라가 있기 때문에 좌우의 삼각형 부분을 계산해서 빼 주어야 한다. 세변의 길이가 a,b,r인 삼각형의 면적은 사인 코사인 법칙으로 풀어도 되지만 헤론의 공식을 이용한다.

https://ko.m.wikipedia.org/wiki/헤론의_공식

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S= √(s*(s-a)(s-b)(s-r)), s = (a+b+r)/2

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π r² * (2α/2π) - 2*S

이게 전체 면적의 1/5이 되야 하니까

π r² * (2α/2π) - 2*S = 1/5 * π r²

일단 r은 없애야 되니까 S에서 r은 분리할 필요가 있다.

일단 b * cos θ 부분의 길이가 r * cos α - a 랑 같고

b * sin θ 부분의 길이가 r * sin α 랑 같다는 점을 이용한다.

일단 b = r * sin α / sin θ

r * sin α / sin θ * cos θ = r * cos α - a

즉 a = r * cos α - b * cos θ = r * cos α - r * sin α / tan θ = r * (cos α sin θ - sin α * cos θ) / sin θ

복잡해서 mathematica로 입력해서 계산해서 s와 S를 계산해보면 S는 복잡하게 나오는데 Simplify함수를 이용하면

s = 1/2 * r * (1 + cos α - cot θ * sin α + csc θ * sin α)

FullSimplify[Sqrt[s*(s-a)(s-b)(s-r)], 0 < α < θ < π/2]

S = 1/2 * r² * √( csc² θ * sin² α * sin² (α - θ)) = 1/2 * r² * csc θ * sin α * Abs[sin (α - θ)]

가 나온다. 그림에서 보듯이 0 < α < θ < π/2 이기 때문에 Abs[sin (α - θ)] = sin (θ - α) 로 쓸 수 있다.

하여간 뭐 r은 없애고

π r² * (2α/2π) - 2*S = 1/5 * π r²

α - csc θ * sin α * sin (θ - α) = 1/5 * π

가 된다. 각도가 한개대신 2개가 들어가는 2원 연립 비선형 방정식이 되어서 그렇지 나름 간단해졌다.

이제 2번째 방정식만 아래 파란색 부분을 가지고 만들어 내면 된다.

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방법은 비슷한데 이번엔 삼각형 부분을 빼는게 아니라 더해야 된다. 또 크기도 전체의 1/5이 아니라 2/5가 된다.

π r² * (2β/2π) + 2*S = 2/5 * π r²

또 삼각형의 각 변도 a, b, r에서 a, c, r로 바뀐다.

S= √(s*(s-a)(s-c)(s-r)), s = (a+c+r)/2

π r² * (2β/2π) + 2*S

이게 전체 면적의 2/5이 되야 하니까

π r² * (2β/2π) + 2*S = 2/5 * π r²

역시 일단 r은 없애야 되니까 S에서 r은 분리할 필요가 있다. 또 δ = θ 임을 그림을 통해 알 수 있으니 그것도 이용한다.

마찬가지로 일단 c * cos θ 부분의 길이가 a + r * cos β 랑 같고

c * sin θ 부분의 길이가 r * sin β 랑 같다는 점을 이용한다.

일단 c = r * sin β / sin θ

r * sin β / sin θ * cos θ = r * cos β + a

즉 a = c * cos θ - r * cos β = r * sin β / sin θ * cos θ - r * cos β

역시 mathematica로 입력해서 계산해서 s와 S를 계산해보면 S는 복잡하게 나오는데 Simplify함수를 이용하면

s = 1/2 * r * (1 - cos β + cot θ * sin β + csc θ * sin β)

FullSimplify[Sqrt[s*(s-a)(s-c)(s-r)], 0 < α < θ < π/2]

S = 1/2 * r² * √( csc² θ * sin² b * sin² (b - θ)) = 1/2 * r² * csc θ * sin β * sin (β - θ)

가 나온다. 그림에서 보듯이 0 < α < θ < β < π/2 이기 때문에 역시 다 양의 값을 지닌다는 것을 알 수 있다.

하여간 뭐 r은 없애고

π r² * (2β/2π) + 2*S = 2/5 * π r²

β + csc θ * sin β * sin (β - θ ) = 2/5 * π

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정리하면

α - csc θ * sin α * sin (θ - α) = 1/5 * π

β + csc θ * sin β * sin (β - θ ) = 2/5 * π

모르는 변수 3개이다.

나머지 한개 방정식은 a를 계산하는 과정에서 얻을 수 있다.

즉 a = r * cos α - b * cos θ = r * cos α - r * sin α * cos θ / sin θ 였는데 2번째에선

a = c * cos θ - r * cos β = r * sin β / sin θ * cos θ - r * cos β 였다. 둘이 같아야 되니까

cos α - sin α * cos θ / sin θ = sin β * cos θ / sin θ - cos β 가 된다.

즉

sin θ * cos α - sin α * cos θ = sin β * cos θ - sin θ * cos β이다

사인 코사인의 공식을 이용하면

sin (θ - α) = sin (β - θ) 이다.

0 < α < θ = δ < β < π/2

이건 α + θ 가 π보다 커지면 - 가 되지만 α, θ 둘다 π/2 보다는 작은 경우니 그 경우는 제외해도 된다.

즉 θ - α = β - θ 이다.

β = 2θ - α 가 된다. (처음에 여기 계산을 잘못해서 해를 구하지 못했었다. sign을 엉뚱하게 바꾸는 바람에..)

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다시 정리하면 처음 식은

α - csc θ * sin α * sin (θ - α) = 1/5 * π

두번째 식은

β + csc θ * sin β * sin (β - θ ) = 2/5 * π

여기서 β를 제거하면

2θ - α + csc θ * sin (2θ - α) * sin (2θ - α - θ ) = 2/5 * π

2θ - α + csc θ * sin (2θ - α) * sin (θ - α) = 2/5 * π

이 두개의 연립 비선형 방정식을 수치해석으로 풀면 된다.. 수치해석으로 풀때는 사인조건을 줄 수 없으니 절대치 표시 Abs도 쓰고 0에서 Pi/2 범위에서 풀면 될 듯하다. 즉 0 < α < θ < π/2이다.

α - Abs[csc θ * sin α * sin (θ - α)] = 1/5 * π

2θ - α + Abs[csc θ * sin (2θ - α) * sin (θ - α)] = 2/5 * π

역시 mathematica를 이용해 해를 돌려보니 α = 0.765278, θ = 0.923676 이 나온다. 라디안이니 각도로 바꾸면 각각 43.8도와 52.9도가 나온다.

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즉 첨에 43.8도는 90도의 절반 45도랑 가까우니 그 정도 각도로 자르면 되고 a위 위치 즉 반지름에 대한 비율 a/r ~ 0.1977 즉 1/5정도 되기 때문에 그 정도 위치에서 자르면 답이 된다는 결론이 된다.

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이런 종류의 문제를 확장해서 몇등분의 문제를 생각할 때 보통 짝수나 어떤 숫자로 나눠지는 등분은 그 숫자로 나누는 걸 먼저 생각해야 하기 때문에 항상 나눠지지 않는 숫자로 나누는 경우가 주요 문제가 될 것이다.. 즉 소수등분의 문제인데 5 다음의 소수는 7이라 7등분이라던지 11등분정도의 문제들이 있을 수 있다.. 그럼 직선을 몇개 써야 되는가 하는 문제는 최소 필요한 직선의 수의 문제가 된다.. 그런 해가 존재하는지 하는 문제 그리고 해가 유일한 해냐 여러가지 해가 있냐 하는것도 문제가 될 수 있지만 풀기는 무지 어려울 듯하다. 그런데 직선이 많아지고 등분할 숫자가 많아지면 것두 해가 뭐 취미로 풀 정도보단 시스템한 해법을 찾아야 되는 문제가 되서 재미가 없고 직선 몇개로 공간을 나눌 수 있는 최대의 숫자가 몇개인가 하는 문제는 좀 다른 응용분야도 많을 거같아 그런 건 좀 연구가 있을 것 같다.. 일단 직선 3개로 공간을 최대 평면으로 7등분 할 수 있는 건 알 수 있기 때문에 케익을 7등분 하는 것도 가능하지 않을까 싶긴 하다. (케이크나누는건 칼질 3번으로 2^3=8조각까진 되겠지만..타임머쉰이 있으면 7조각 남기고 나머지 한조각은 시간여행시켜서 앞에 칼질할때 다시 칼질 당하게 하는 식으로 뭐 7조각 만들 수도 있지만.. 하긴 시간여행쓰면 가능성이 너무 많아져서 안되는게 없겠지만.. ㅎㅎ) 그런데 좀 생각해 보니 그건 해가 없을 거 같다. 그래서 다음으로 생각해 본게 앞의 해를 이용해 간단하게 케익을 직선 4개로 7등분하는 방법은 해를 쉽게 찾을 수 있을거 같다.. 처음에 1/5되는 위치를 1/7로 바꾸고 두번째 2/5는 2/7로 바꾸면 되는 듯.. 그럼 양쪽 사이드 조각은 옆에서 자르면 쉽게 2등분이 되니까.. 평면상에서 2등분 하라고 하면 것두 좀 수학적으로 복잡해질듯..

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출처 :?https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=blueweapon&logNo=221404279308&proxyReferer=https:%2F%2Fwww.google.co.jp%2F

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결론 : ?이과 망했으면 ㅠㅠ?